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Lagrange -en Francia, siglo XVIII- y Hamilton -en Inglaterra, siglo XIX- aplicaron este principio a la mecánica de Newton, el principio de mínima acción. En este caso es la acción del sistema físico la que es un máximo o un mínimo cuando el sistema físico evoluciona en el tiempo, cuando transita de un estado inicial a un estado final; es un resultado muy profundo, la acción es más fundamental para describir los procesos en la naturaleza de lo que lo es la energía, por ejemplo, aunque la energía está implícita; la constante de Planck, o parámetro de Planck, tiene unidades de acción –unidades de energía multiplicadas por unidades de tiempo, o unidades de momento lineal multiplicadas por unidades de posición, o unidades de momento angular-, es la acción fundamental, además es la mínima observada; cualquier otra debe ser múltiplo entero de este parámetro fundamental, de acuerdo a los principio de cuantización.
La lagrangiana asociado a un sistema físico es la energía cinética del sistema menos la energía potencial; para cualquier posible estado del sistema, la acción del sistema es definida como la integral de la lagrangiana en el tiempo -desde el tiempo inicial, cuando el sistema inicia sus cambios de estado, hasta el tiempo final, cuando el sistema finaliza sus cambios de estado-.
El curso que siguen los cambios de estado del sistema físico es tal que la acción del sistema siempre es un máximo o un mínimo. La mecánica de Lagrange y la de Hamilton son equivalentes, en los resultados, a la mecánica de Newton, pero no en la visión y la estructura supuesta del mundo externo. De todas las posibles trayectorias que podría seguir un sistema físico para evolucionar, o cambiar su estado físico, la que se observa en la naturaleza es tal que la acción del sistema es un mínimo. La importancia de esta formulación es ventajosa en mecánica cuántica. Richard Feynman explotó este hecho, pero desde el punto de vista cuántico, para crear su versión de la mecánica cuántica.
La versión de Feynman de la mecánica cuántica se conoce como mecánica de amplitudes, o la técnica de sumar sobre posibles historias o recorridos del sistema físico, o aproximación de muchas trayectorias, o la formulación de integrales de línea, o la aproximación lagrangiana, o el método de mínima acción. Feynman la desarrolló en 1941 [7]. También fue su tesis doctoral.
En su discurso Nobel, Feynman relata cómo llego a su formulación de la mecánica cuántica con estas palabras [8]:
“Fui a la taberna Nassau en Princeton a tomar unas cervezas. Estaba ahí un caballero, recién llegado de Europa (Herbert Jehle), quien se acercó y se sentó junto a mí. Los europeos son mucho más serios que nosotros los americanos porque piensan que un buen lugar para discutir temas intelectuales es una reunión para tomar cervezas. Así que se sentó junto a mí y me preguntó:
¿Qué estás haciendo?, o algo por el estilo, y yo dije estoy bebiendo cerveza. Entonces me di cuenta que quería saber qué trabajo estaba haciendo y le conté que estaba esforzándome con este problema, y simplemente volteé hacia él y dije mira, ¿conoces alguna forma de hacer mecánica cuántica comenzando con la acción donde la integral de acción entrara en mecánica cuántica?
No, replicó, pero Dirac tiene un artículo en el cual la lagrangiana, al menos, entra en mecánica cuántica. Te lo mostraré mañana.
Al día siguiente fuimos a la biblioteca de Princeton (ésta tiene cubículos laterales para armar discusiones) y él me mostró este artículo. El artículo corto de Dirac publicado en el Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion (Revista de Física de la Unión Soviética) decía que una herramienta matemática que gobierna el desarrollo en el tiempo de un sistema cuántico es análoga a la lagrangiana clásica.
El profesor Jehle me lo mostró; lo leí; me lo explicó, y dije:
¿Qué significa que sean análogos; qué significa análogos? ¿Cuál es el uso de eso?
Él dijo:
¡Ustedes, los americanos! ¡Siempre quieren encontrar uso para todo!
Dije que pensaba que Dirac quería decir que eran iguales. No, él explicó: él quería decir que son análogos. Bueno, argüí, veamos qué pasa si los hacemos iguales.
De esta forma, simplemente los igualé, tomando el ejemplo más simple... pero pronto encontré que tenía que poner una constante de proporcionalidad A, convenientemente ajustada. Cuando sustituí...y calculé casos en una expansión en series de Taylor, salió la ecuación de Schrödinger. Y volví al profesor Jehle, sin realmente entender, y dije: bueno, ya ve que el Profesor Dirac quiso decir que son proporcionales. Los ojos del profesor Jehle se desorbitaron, él había sacado una pequeña libreta y estaba copiando rápidamente del pizarrón comentando: no, no, éste es un descubrimiento importante.”
